正n角形は円をn分割する多角形のことですが、その中心は重心、垂心、外心、内心を兼ねたものだと言えます。
少なくとも2n角形についてはそのはずです。
このとき、直径と円周上の点cとの定理により、点c、直径を構成する点a、b、が作る三角形は直角三角形と言えます。
これにより、直径の一点を始点とする正n角形の一辺と、直径と、他の一辺による直角三角形は三平方の定理により二辺が解ると他の一辺を算出することができます。
このとき、円周上の点から垂直に降ろした線と、直径との交点と、正n角形の始点が構成する直角三角形は3つの角が等しいため、相似であると言えます。
これにより、正n角形を分割する三角形による三角関数と、その三角形の面積を算出することができます。
六角形の場合1:1/2:√3/2の三角形に分割することができますね。これにより1:1:√3の分割線を導くことができます。
正n角形の面積はn角形の一辺をaとすると、a・tan180(n-2)/n・1/2・a・1/2・1/2・2・nで算出されますが、このときヘロンの公式によってa・tan180(n-2)/n・1/2・a・1/2・・1/2・2部分を算出すると、二等辺三角形の二辺は等しいので√((2r+a)/2)((2r+a)/2-a)((2r+a)/2-r)((2r+a)/2-r)となります。
これにより、√((2r+a)/2)((2r+a)/2-a)((2r+a)/2-r)((2r+a)/2-r)・n=a・tan180(n-2)/n・1/2・a・1/2・1/2・2・nが成り立ちます。
texを使った数式を載せておきます。
\[S={a\tan\frac{({\pi}-(n-2))}{n}}{\frac{1}{2}}{a}{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}{2n}={\sqrt{{\frac{2r+a}{2}}{(\frac{2r+a}{2}-a)}({\frac{2r+a}{2}-r)}({\frac{2r+a}{2}-r)}}}n\]
そういえば円から正n角形を描けますね。aを正n角形の一辺としたとき 1/2*a/(cos180(n-2)/n*1/2)で半径が算出されますが…。
texを使って作ってみた数式です。載せておきます。
\[r=\frac{a\frac{1}{2}}{\cos\frac{({\pi}-(n-2))}{n}{\frac{1}{2}}} \]